8257. Боковые рёбра DA
, DB
, DC
тетраэдра ABCD
попарно перпендикулярны (прямоугольный тетраэдр), A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины рёбер BC
, AC
и AB
. Докажите, что тетраэдр DA_{1}B_{1}C_{1}
равногранный.
Решение. Ребро DA_{1}
тетраэдра DA_{1}B_{1}C_{1}
— медиана прямоугольного треугольника BDC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому DA_{1}=\frac{1}{2}BC
, а так как B_{1}C_{1}
— средняя линия треугольника ABC
, то B_{1}C_{1}=\frac{1}{2}BC=DA_{1}
. Аналогично DB_{1}=A_{1}C_{1}
и DC_{1}=A_{1}B_{1}
.
Противоположные рёбра тетраэдра DA_{1}B_{1}C_{1}
попарно равны, значит, боковые грани тетраэдра — равные треугольники (по трём сторонами). Следовательно, этот тетраэдр равногранный.
Примечание. Верно и обратное: если DABC
— равногранный тетраэдр, то около него можно описать прямоугольный тетраэдр DXYZ
так, чтобы рёбра DA
, DB
, DC
тетраэдра ABCD
были медианами граней тетраэдра DXYZ
.