8262. Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
Ответ. \arccos\frac{1}{3}
.
Решение. Пусть ABCD
— правильный тетраэдр, O
— центр грани ABC
, M
— середина BC
. Так как OM\perp BC
и DM\perp BC
, то OMD
— линейный угол двугранного угла, образованного гранями ABC
и DBC
. Так как ABC
и DBC
— равные равносторонние треугольники, AM
и DM
— их высоты, а O
— центр треугольника ABC
, то
OM=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
Из прямоугольного треугольника OMD
находим, что
\cos\angle OMD=\frac{OM}{DM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.
Аналогично для остальных двугранных углов правильного тетраэдра.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 2, с. 66