8267. Докажите, что пирамида с равными боковыми рёбрами и с равными двугранными углами при основании является правильной.
Решение. Пусть SO
— высота пирамиды SA_{1}A_{2}\dots A_{n}
с вершиной S
, По условию задачи SA_{1}=SA_{2}=\dots=SA_{n}
. Значит,
OA_{1}=OA_{2}=\dots=OA_{n}.
Медианы SM_{1}
, SM_{2}
, \dots
, SM_{n}
равнобедренных треугольников SA_{1}A_{2}
, SA_{2}A_{3}
, \dots
, SA_{n}A_{1}
являются высотами. Медианы OM_{1}
, OM_{2}
, \dots
, OM_{n}
равнобедренных треугольников A_{1}OA_{2}
, A_{2}OA_{3}
, \dots
, A_{n}OA_{1}
также являются высотами. Поэтому SM_{1}O
, SM_{2}O
, \dots
, SM_{n}O
— линейные углы двугранных углов при основании пирамиды. По условию задачи
\angle SM_{1}O=\angle SM_{2}O=\dots=\angle SM_{n}O,
поэтому прямоугольные треугольники SM_{1}O
, SM_{2}O
, \dots
, SM_{n}O
равны по катету (SO
— общий катет) и противолежащему острому углу. Значит,
OM_{1}=OM_{2}=\dots=OM_{n}.
Следовательно, равнобедренные треугольники A_{1}OA_{2}
, A_{2}OA_{3}
, \dots
, A_{n}OA_{1}
равны (по боковым сторонам и высотам, опущенным на основания). Поэтому все стороны и все углы многоугольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
равны. Значит, этот многоугольник правильный, а высота SO
пирамиды проходит через его центр O
. Следовательно, пирамида SA_{1}A_{2}\dots A_{n}
— правильная.
