8281. Существует ли тетраэдр, все грани которого — равнобедренные треугольники, причём никакие два из них не равны?
Ответ. Нет.
Решение. Допустим, такой тетраэдр ABCD
существует. Заметим сначала, что из одной вершины не может выходить три равных ребра. Действительно, если AB=AC=AD
, то, так как среди отрезков BC
, BD
и CD
есть хотя бы два равных (треугольник BCD
— равнобедренный), то среди треугольников ABC
, ABD
, ACD
есть хотя бы два равных.
Далее заметим, что две соседние грани (равнобедренные треугольники), не могут иметь общее основание. Действительно, если AB=AC
и DB=DC
, то треугольники ADB
и ADC
равны.
Теперь заметим, что ни один из треугольников не может быть равносторонним. Действительно, если AB=BC=AC
, то хотя бы одно из рёбер AB
, BC
, AC
является основанием в обоих содержащих его треугольниках. Далее, без ограничения общности можно считать, что AB=AC
, BC=BD
. Тогда, так как AD\ne AB
, то AD=BD
. Аналогично DC=AB
. Следовательно, треугольники ABC
и ACD
равны, что невозможно.
Следовательно, такого тетраэдра не существует.