8282. Существует ли многогранник, все грани которого — равнобедренные прямоугольные треугольники?
Ответ. Да.
Решение. 1. «Отрежем» от куба «уголок». Отсекающую плоскость выберем так, чтобы она пересекала все три ребра куба, выходящих из отрезаемой вершины, на одинаковом расстоянии от этой вершины. У отрезанной таким образом «пирамидки» (тетраэдра) будет четыре грани: три из них — равнобедренные прямоугольные треугольники (бывшие части граней куба), и ещё один треугольник (очевидно, равносторонний, но нам это неважно).
2. Сделаем ещё один точно такой же тетраэдр.
3. «Склеим» эти два равных тетраэдра гранями, которые не являются прямоугольными треугольниками. У полученного многогранника «снаружи» в качестве граней останутся только равнобедренные прямоугольные треугольники, что и требовалось.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2003, 10-11 классы