8284. На левую чашу весов положили две круглых монеты, а на правую — ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса? (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного и того же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.)
Ответ. Перевесит правая чаша весов.
Решение. Поскольку шары и монеты изготовлены из одного материала и монеты имеют одинаковую толщину, вес монеты пропорционален её площади (площади круга), а вес шара — его объёму. Обозначим радиусы монет через R_{1}
, R_{2}
и R_{3}
. Вначале весы были в равновесии, поэтому
\pi R_{1}^{2}+\pi R_{2}^{2}=\pi R_{3}^{2},
т. е.
R_{1}^{2}+R_{2}^{2}=R_{3}^{2}.
Аналогично, чтобы определить, что произошло с весами после того, как монеты заменили шарами, нужно сравнить \frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}
с \frac{4}{3}\pi R_{3}^{3}
, или R_{1}^{3}+R_{2}^{3}
с R_{3}^{3}
.
Но по сравнению с равенством выше правая часть умножилась на больший радиус R_{3}
, а два слагаемых в левой части — на меньшие радиусы R_{1}
и R_{2}
:
R_{1}^{3}+R_{2}^{3}=R_{1}^{2}\cdot R_{1}+R_{2}^{2}\cdot R_{2}\lt R_{1}^{2}\cdot R_{3}+R_{2}^{2}\cdot R_{3}=(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})\cdot R_{3}=R_{3}^{2}\cdot R_{3}=R_{3}^{3}.
Значит, правая чаша перевесит.