8285. Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.
Решение. Первый способ. Впишем в тетраэдр сферу и рассмотрим все треугольники, образованные какой-то парой вершин тетраэдра и точкой касания сферы с гранью, содержащей эти вершины. К каждому ребру тетраэдра примыкает по два таких треугольника. Они равны по трём сторонам, а значит, равновелики. Напишем на каждом ребре площадь примыкающего к нему треугольника. Сумма чисел на сторонах грани — это сумма площадей трёх треугольников, на которые эта грань разбивается, т. е. как раз площадь грани.
Второй способ. Пусть площадь наименьшей грани равна s
. Напишем на ребре, общем для наименьшей и наибольшей граней, число s
, а на остальных двух рёбрах наименьшей грани — по нулю. Тогда на оставшихся трёх рёбрах всегда можно расставить неотрицательные числа требуемым образом.
Действительно, пусть площадь наибольшей грани равна S
, а площади двух оставшихся граней — a
и b
. На одном ребре наибольшей грани уже написано число s
. Напишем на двух других \frac{1}{2}(S-b+a-s)
и \frac{1}{2}(S-a+b-s)
(каждое из них неотрицательно как сумма двух неотрицательных чисел). Наконец, на единственном пока ещё пустом ребре напишем число \frac{1}{2}(a+b+s-S)
(это число неотрицательно, так как проекции трёх граней покрывают четвёртую, а площадь грани не меньше площади её проекции на другую грань).
Нетрудно проверить, что условие задачи выполнено:
s=s+0+0,~
S=s+\frac{1}{2}(S-b+a-s)+\frac{1}{2}(S-a+b-s),
a=0+\frac{1}{2}(S-b+a-s)+\frac{1}{2}(a+b+s-S),
b=0+\frac{1}{2}(S-a+b-s)+\frac{1}{2}(a+b+s-S).