8294. Постройте сечения треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
параллельными плоскостями, одна из которых проходит через медиану CM
основания ABC
, а вторая — через диагональ BC_{1}
боковой грани BCB_{1}C_{1}
. В каком отношении эти плоскости делят отрезок AB_{1}
?
Ответ. 1:1:1
.
Указание. Рассмотрите сечения BM_{1}C_{1}
и A_{1}MC
, где M_{1}
— середина ребра A_{1}B_{1}
.
Решение. Известно, что через две скрещивающиеся прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей (см. задачу 7105).
Пусть C_{1}M_{1}
— медиана основания A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда плоскости BM_{1}C_{1}
и A_{1}MC
параллельны, так как пересекающиеся прямые BM_{1}
и C_{1}M_{1}
одной из них соответственно параллельны пересекающимся прямым A_{1}M
и CM
другой (четырёхугольник MA_{1}M_{1}B
— параллелограмм). При этом прямая BC_{1}
лежит в первой плоскости, а прямая CM
— во второй. Следовательно, искомые сечения — это треугольники BM_{1}C_{1}
и A_{1}MC
.
Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой AB_{1}
с плоскостями BM_{1}C_{1}
и A_{1}MC
соответственно. Прямые MA_{1}
и BM_{1}
параллельны и AM_{1}=M_{1}B
, поэтому по теореме Фалеса B_{1}P=PQ
. Аналогично QA=PQ
. Следовательно, B_{1}P=PQ=QA
.