8294. Постройте сечения треугольной призмы
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
параллельными плоскостями, одна из которых проходит через медиану
CM
основания
ABC
, а вторая — через диагональ
BC_{1}
боковой грани
BCB_{1}C_{1}
. В каком отношении эти плоскости делят отрезок
AB_{1}
?
Ответ.
1:1:1
.
Указание. Рассмотрите сечения
BM_{1}C_{1}
и
A_{1}MC
, где
M_{1}
— середина ребра
A_{1}B_{1}
.
Решение. Известно, что через две скрещивающиеся прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей (см. задачу 7105).
Пусть
C_{1}M_{1}
— медиана основания
A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда плоскости
BM_{1}C_{1}
и
A_{1}MC
параллельны, так как пересекающиеся прямые
BM_{1}
и
C_{1}M_{1}
одной из них соответственно параллельны пересекающимся прямым
A_{1}M
и
CM
другой (четырёхугольник
MA_{1}M_{1}B
— параллелограмм). При этом прямая
BC_{1}
лежит в первой плоскости, а прямая
CM
— во второй. Следовательно, искомые сечения — это треугольники
BM_{1}C_{1}
и
A_{1}MC
.
Пусть
P
и
Q
— точки пересечения прямой
AB_{1}
с плоскостями
BM_{1}C_{1}
и
A_{1}MC
соответственно. Прямые
MA_{1}
и
BM_{1}
параллельны и
AM_{1}=M_{1}B
, поэтому по теореме Фалеса
B_{1}P=PQ
. Аналогично
QA=PQ
. Следовательно,
B_{1}P=PQ=QA
.