8295. Постройте сечения треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
параллельными плоскостями, одна из которых проходит через диагональ AB_{1}
боковой грани AA_{1}B_{1}B
, а вторая — через диагональ BC_{1}
боковой грани BCB_{1}C_{1}
. В каком отношении эти плоскости делят отрезок CA_{1}
?
Ответ. 1:1:1
.
Указание. Рассмотрите сечения AB_{1}M_{1}
и C_{1}BM
, где M
и M_{1}
— середины рёбер AC
и A_{1}C_{1}
соответственно.
Решение. Известно, что через две скрещивающиеся прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей (см. задачу 7105).
Пусть BM
и B_{1}M_{1}
— медианы оснований ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно. Тогда плоскости AB_{1}M_{1}
и C_{1}BM
параллельны, так как пересекающиеся прямые B_{1}M_{1}
и AM_{1}
одной из них соответственно параллельны пересекающимся прямым BM
и C_{1}M
другой (четырёхугольник AMC_{1}M_{1}
— параллелограмм). При этом прямая AB_{1}
лежит в первой плоскости, а прямая BC_{1}
— во второй. Следовательно, искомые сечения — это треугольники AB_{1}M_{1}
и C_{1}BM
.
Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой CA_{1}
с плоскостями AB_{1}M_{1}
и C_{1}BM
соответственно. Прямые AM_{1}
и MC_{1}
параллельны и A_{1}M_{1}=M_{1}C_{1}
, поэтому по теореме Фалеса A_{1}P=PQ
. Аналогично QC=PQ
. Следовательно, A_{1}P=PQ=QC
.