8297. Дан правильный тетраэдр ABCD
с ребром a
. Найдите площадь его сечений параллельными плоскостями, одна из которых проходит через медиану AM
грани ABC
, а вторая — через медиану BN
грани BCD
.
Ответ. \frac{a\sqrt{35}}{72}
, \frac{a\sqrt{35}}{24}
.
Указание. Проведите плоскость через прямую AM
и середину отрезка CN
.
Решение. Известно, что через две скрещивающиеся прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей (см. задачу 7105).
Пусть K
— середина отрезка CN
. Тогда MK
— средняя линия треугольника BNC
, поэтому MK\parallel BN
и MK=\frac{1}{2}BN=\frac{a\sqrt{3}}{4}
.
Плоскость AMK
параллельна прямой BN
, так как в эта плоскость содержит прямую MK
, параллельную BN
. Следовательно, искомое сечение — треугольник AMK
.
По теореме косинусов
AK^{2}=DA^{2}+DK^{2}-2DA\cdot DK\cos60^{\circ}=a^{2}+\left(\frac{3}{4}a\right)^{2}-2a\cdot\frac{3}{4}a\cdot\frac{1}{2}=\frac{13a^{2}}{16}.
Обозначим \angle AMK=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{AM^{2}+MK^{2}-AK^{2}}{2AM\cdot MK}=\frac{\frac{3}{4}a^{2}+\frac{3}{16}a^{2}-\frac{13}{16}a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{6}.
Значит, \sin\alpha=\frac{\sqrt{35}}{6}
, следовательно,
S_{\triangle AMK}=\frac{1}{2}AM\cdot MK\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{35}}{6}=\frac{a^{2}\sqrt{35}}{32}.
Через точку G
пересечения медиан треугольника BCD
проведём прямую, параллельную AM
. Пусть эта прямая пересекает AD
в точке L
. Тогда искомое сечение — треугольник BLN
, поскольку плоскость BLN
проходит через прямую BN
и параллельна прямой AM
, так как содержит прямую LG
, параллельную AM
. При этом
\frac{DN}{DK}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{3}{4}a}=\frac{2}{3},~\frac{LG}{AM}=\frac{GN}{MK}=\frac{2}{3},~\angle LGN=\angle AMK=\alpha,
значит, треугольник LGN
подобен треугольнику AMK
с коэффициентом \frac{2}{3}
, поэтому
S_{\triangle LGN}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\cdot S_{\triangle AMK}=\frac{4}{9}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{35}}{32}=\frac{a^{2}\sqrt{35}}{72}.
Следовательно,
S_{\triangle BLN}=\frac{BN}{GN}\cdot S_{\triangle LGN}=3\cdot\frac{a^{2}\sqrt{35}}{72}=\frac{a^{2}\sqrt{35}}{24}.