8301. Пусть V
— объём тетраэдра, S_{1}
и S_{2}
— площади двух граней, a
— длина их общего ребра, \varphi
— величина двугранного угла между ними. Докажите, что V=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{1}S_{2}\cdot\sin\varphi}{a}
.
Решение. Пусть ребро AB
тетраэдра ABCD
равно a
, угол между гранями ABC
и ABD
равен \varphi
, S_{\triangle ABC}=S_{1}
, S_{\triangle ABD}=S_{2}
.
Если DH
— высота тетраэдра, опущенная на основание ABC
, а HM
— перпендикуляр, опущенный из точки H
на AB
, то по теореме о трёх перпендикулярах DM\perp AB
, значит, DMH
— линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB
. Поэтому \angle DMH=\varphi
. Тогда
V=V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}S_{1}\cdot DM\sin\varphi=
=\frac{1}{3}S_{1}\cdot\frac{2S_{2}}{a}\cdot\sin\varphi=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{1}S_{2}\cdot\sin\varphi}{a}.
