8305. Найдите расстояние между серединами непараллельных сторон разных оснований правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 2.
Ответ.
\sqrt{5}
.
Решение. Пусть
M
и
N
— середины рёбер
AC
и
A_{1}B_{1}
правильной треугольной призмы
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основаниями
ABC
и
A_{1}B_{1}C_{1}
(
AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}
), все рёбра которой равны
2
;
M_{1}
— ортогональная проекция точки
M
на плоскость
A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда
M_{1}
— середина
A_{1}C_{1}
,
M_{1}N
— средняя линия треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
. Из прямоугольного треугольника
MM_{1}N
находим, что
MN=\sqrt{MM_{1}^{2}+NM_{1}^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.

Ясно, что расстояния между серединами любых других непараллельных сторон основания также равны
\sqrt{5}
.

Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 9, с. 73