8309. Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны m
, n
и p
. Найдите диагональ параллелепипеда.
Ответ. \sqrt{\frac{m^{2}+n^{2}+p^{2}}{2}}
.
Решение. Пусть x
, y
и z
— измерения данного прямоугольного параллелепипеда, а d
— его диагональ. Тогда
x^{2}+y^{2}=m^{2},~x^{2}+z^{2}=n^{2},~y^{2}+z^{2}=p^{2}.
Сложив почленно эти равенства, получим, что
2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=m^{2}+n^{2}+p^{2}.
Следовательно,
d=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{\frac{m^{2}+n^{2}+p^{2}}{2}}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 13, с. 74