8315. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны a
, b
и c
. Найдите угол между скрещивающимися диагоналями двух граней с общим ребром a
.
Ответ. \arccos\frac{a^{2}}{\sqrt{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольный параллелепипед, в котором AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel DD_{1}
, AB=a
, AD=b
, AA_{1}=c
. Найдём угол между диагональю A_{1}C_{1}
грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и диагональю AB_{1}
грани AA_{1}B_{1}B
. Так как A_{1}C_{1}\parallel AC
, то угол между скрещивающимися прямыми A_{1}C_{1}
и AB_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми AC
и AB_{1}
.
Проведём сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершины A
, B_{1}
и C
. Получим треугольник со сторонами
AC=\sqrt{a^{2}+b^{2}},~AB_{1}=\sqrt{a^{2}+c^{2}},~B_{1}C=\sqrt{b^{2}+c^{2}}.
По теореме косинусов находим, что
\cos\angle CAB_{1}=\frac{AC^{2}+AB_{1}^{2}-CB_{1}^{2}}{2AC\cdot AB_{1}}=
=\frac{a^{2}+b^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-c^{2}}{2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}}=\frac{a^{2}}{\sqrt{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}}\gt0.
Следовательно, угол между прямыми A_{1}C_{1}
и AB_{1}
равен
\arccos\frac{a^{2}}{\sqrt{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}}.
Второй способ. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольный параллелепипед, в котором AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel DD_{1}
, AB=a
, AD=b
, AA_{1}=c
. Обозначим \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{c}
. Тогда
\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},~\overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}.
Если \gamma
— угол между прямыми A_{1}C_{1}
и AB_{1}
, то
\cos\gamma=\frac{|\overrightarrow{A_{1}C_{1}}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}|}{A_{1}C_{1}\cdot AB_{1}}=\frac{|(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+c^{2}}}=\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+c^{2}}}\gt0.
Следовательно,
\gamma=\arccos\frac{a^{2}}{\sqrt{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}}.
