8326. Постройте изображение параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, если даны изображения вершин A
, B
и центров граней A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и CDD_{1}C_{1}
.
Решение. Будем считать, что точки A
, B
, C
, D
, A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
и есть изображения вершин параллелепипеда (рис. 1). Предположим, что изображение ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
параллелепипеда построено, а точки P
и Q
— изображения центров граней A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и CDD_{1}C_{1}
соответственно. Через точку P
проведём прямую, параллельную AB
, до пересечения с A_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}
в точках K
и L
соответственно. Тогда K
и L
— середины A_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}
, а KL=AB
. Отсюда вытекает следующее построение.
Через данную точку P
проведём прямую, параллельную данному отрезку AB
. На этой прямой отложим от точки P
по разные стороны от неё отрезки PK
и PL
, равные половине AB
. Получим середины K
и L
искомых отрезков A_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}
. Аналогично построим середины N
и M
искомых отрезков CC_{1}
и DD_{1}
. Осталось построить параллелограмм AA_{1}D_{1}D
по его данной вершине A
и серединам K
и M
сторон A_{1}D_{1}
и DD_{1}
. Для этого на продолжении медианы AE
треугольника AKM
за точку E
отложим отрезок ED_{1}
, равный трети отрезка AE
(рис. 2). Затем на продолжении отрезков D_{1}K
и D_{1}M
отложим отрезки KA_{1}
и MD
, соответственно равные D_{1}K
и D_{1}M
. Аналогично строятся изображения остальных вершин C
, C_{1}
и B_{1}
параллелепипеда.
