8355. Сторона правильного треугольника равна 11. Центры трёх шаров находятся в вершинах этого треугольника. Сколько существует различных плоскостей касающихся одновременно трёх шаров, если радиусы шаров равны 3, 4, 6?
Ответ. 6.
Указание. Если расстояние между центрами O_{1}
и O_{2}
окружностей радиусов соответственно r_{1}
и r_{2}
равно a
, а прямая касается этих окружностей в точках M_{1}
и M_{2}
, то
M_{1}M_{2}=\sqrt{a^{2}-(r_{2}\pm r_{1})^{2}}.
Решение. Решим сначала такую задачу. Расстояние между центрами O_{1}
и O_{2}
окружностей радиусов соответственно r_{1}
и r_{2}
равно a
. Прямая касается этих окружностей в точках M_{1}
и M_{2}
. Найти M_{1}M_{2}
.
Опустим перпендикуляр O_{1}F
из центра первой окружности на прямую O_{2}M_{2}
. Тогда либо O_{2}F=|r_{2}-r_{1}|
, либо O_{2}F=r_{1}+r_{2}
. Из прямоугольного треугольника O_{1}O_{2}F
находим, что в первом случае (рис. 1)
M_{1}M_{2}=O_{1}F=\sqrt{O_{1}O_{2}-O_{2}F^{2}}=\sqrt{a^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}},
а во втором (рис. 2) —
M_{1}M_{2}=O_{1}F=\sqrt{O_{1}O_{2}-O_{2}F^{2}}=\sqrt{a^{2}-(r_{2}+r_{1})^{2}}.
Пусть некоторая плоскость касается шаров радиусов 3, 4 и 6 с центрами в вершинах A
, B
и C
равностороннего треугольника ABC
со стороной 11, в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Рассмотрим случай, когда точка C_{1}
и отрезок A_{1}B_{1}
лежат по разные стороны от плоскости ABC
. Тогда в трёх плоскостях, проведённых через параллельные прямые AA_{1}
и CC_{1}
, AA_{1}
и BB_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
из выведенных формул следует, что
A_{1}B_{1}=\sqrt{11^{2}-(4-3)^{2}}=\sqrt{120},
A_{1}C_{1}=\sqrt{11^{2}-(3+6)^{2}}=\sqrt{40},
B_{1}C_{1}=\sqrt{11^{2}-(4+6)^{2}}=\sqrt{21},
что невозможно, так как
A_{1}B_{1}=\sqrt{120}\gt\sqrt{40}+\sqrt{21}=A_{1}C_{1}+B_{1}C_{1}
(\sqrt{120}\gt\sqrt{40}+\sqrt{21}\Leftarrow120\gt61+2\sqrt{840}\Leftarrow59\gt2\sqrt{840}\Leftarrow3481\gt3360).
Пусть точка A_{1}
и отрезок B_{1}C_{1}
лежат по разные стороны от плоскости ABC
. Тогда
B_{1}C_{1}=\sqrt{11^{2}-(6-4)^{2}}=\sqrt{117},
A_{1}B_{1}=\sqrt{11^{2}-(3+4)^{2}}=\sqrt{72},
A_{1}C_{1}=\sqrt{11^{2}-(3+6)^{2}}=\sqrt{40}.
В этом случае наибольший из трёх полученных отрезков меньше суммы двух других
(\sqrt{117}\lt11\lt8+6\lt\sqrt{72}+\sqrt{40}).
Следовательно, существует треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, а значит, и две нужных плоскости (симметричных относительно плоскости треугольника ABC
).
Пусть точка B_{1}
и отрезок A_{1}C_{1}
лежат по разные стороны от плоскости ABC
. Тогда
A_{1}C_{1}=\sqrt{11^{2}-(6-3)^{2}}=\sqrt{112},
A_{1}B_{1}=\sqrt{11^{2}-(3+4)^{2}}=\sqrt{72},
B_{1}C_{1}=\sqrt{11^{2}-(6+4)^{2}}=\sqrt{21}.
В этом случае наибольший из трёх полученных отрезков меньше суммы двух других
(\sqrt{112}\lt11\lt8+4\lt\sqrt{72}+\sqrt{21}).
Следовательно, существует треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, а значит, ещё две нужных плоскости.
Кроме того, очевидно, что существуют две плоскости, касающиеся трёх данных шаров в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, лежащих по одну сторону от плоскости треугольника ABC
.