8361. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите радиус описанного шара.
Ответ. \frac{b^{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}
.
Решение. Первый способ. Пусть DM
— высота данной правильной треугольной пирамиды ABCD
, R
— искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой DM
(рис. 1). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DM
и точку C
(рис. 2). Получим окружность радиуса R
с центром на прямой DM
, проходящую через точки D
и C
. Продолжим CM
за точку M
до пересечения с окружностью в точке C_{1}
. Тогда R
— радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника CDC_{1}
, в котором
C_{1}D=CD=b,CC_{1}=2CM=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.
Из прямоугольного треугольника CDM
находим, что
\cos\angle DCM=\frac{CM}{CD}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{b}=\frac{a}{b\sqrt{3}}.
Поэтому
\sin\angle DCM=\sqrt{1-\cos^{2}\angle DCM}=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{3b^{2}}}=\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{b\sqrt{3}}.
Следовательно,
R=\frac{C_{1}D}{2\sin\angle DCC_{1}}=\frac{C_{1}D}{2\sin\angle DCM}=\frac{b}{\frac{2\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{b\sqrt{3}}}=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}.
Второй способ. Пусть O
— центр сферы, описанной около данной правильной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
(рис. 1). Поскольку пирамида правильная, точка O
лежит на её высоте DM
. Из прямоугольных треугольников DMC
и OMC
находим, что
DM=\sqrt{CD^{2}-CM^{2}}=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}},
OM=\sqrt{OC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{R^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3R^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}.
Если точка O
лежит на отрезке DM
, то OM+OD=DM
, или
\frac{\sqrt{3R^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}+R=\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}.
Решим полученное уравнение:
\frac{\sqrt{3R^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}+R=\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}~\Leftrightarrow~\frac{\sqrt{3R^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}-R~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~R^{2}-\frac{a^{2}}{3}=b^{2}-\frac{a^{2}}{3}-\frac{2R\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}+R^{2}\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{2R\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}=b^{2}~\Leftrightarrow~R=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}.
Возможен также случай, когда точка O
лежит на продолжении высоты DM
за точку M
. Тогда OD=OM+DM
, или
R=\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3R^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}},
откуда
R=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}.
Третий способ. Пусть DM
— высота данной правильной треугольной пирамиды ABCD
, R
— искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой DM
(рис. 1). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DM
и точку C
. Получим окружность радиуса R
с центром на прямой DM
, проходящую через точки D
и C
. Продолжим DM
до пересечения с окружностью в точке D_{1}
(рис. 2). Тогда \angle DCD_{1}=90^{\circ}
, поэтому DM\cdot MD_{1}=MC^{2}
, или
\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}\cdot\left(2R-\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}\right)=\frac{a^{2}}{3}.
Отсюда находим, что
R=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 4(а), с. 88