8365. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите радиус вписанного шара.
Ответ. \frac{a\sqrt{2}\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{2(a+\sqrt{4b^{2}-a^{2}})}
.
Решение. Пусть PM
— высота данной правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
, r
— искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q
её вписанной сферы лежит на прямой PM
, точки касания сферы с боковыми гранями лежат на апофемах, а точка касания сферы с основанием совпадает с точкой M
.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM
и середину K
стороны AB
основания ABCD
. Получим равнобедренный треугольник PKL
(L
— середина AB
) и вписанную в него окружность радиуса r
с центром на высоте PM
. Центр Q
этой окружности лежит на биссектрисе KQ
угла PKM
прямоугольного треугольника PKM
, а QM=r
.
Из прямоугольных треугольников PMA
и PKA
находим, что
PM=\sqrt{AP^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{2}},
PK=\sqrt{AP^{2}-AK^{2}}=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{2}.
По свойству биссектрисы треугольника \frac{QM}{QP}=\frac{KM}{KP}
, поэтому
\frac{QM}{PM}=\frac{KM}{KM+KP}.
Следовательно,
r=QM=PM\cdot\frac{KM}{KM+KP}=\frac{\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{2}}=
=\frac{a\sqrt{2}\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{2(a+\sqrt{4b^{2}-a^{2}})}
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 4(б), с. 88