8368. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите радиус шара, касающегося всех рёбер пирамиды.
Ответ. \frac{a(2b-a)}{2\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}
.
Решение. Пусть PM
— высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
, r
— искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q
сферы, касающейся всех рёбер пирамиды, лежит на прямой PM
, а точки касания сферы со сторонами основания совпадают с серединами этих сторон. Если K
и L
— точки касания сферы с рёбрами AB
и AP
соответственно, то
QL\perp AP,~AK=\frac{a}{2},~PL=AP-AL=b-\frac{a}{2}=\frac{2b-a}{2}.
Из прямоугольного треугольника AMP
находим, что
PM=\sqrt{AP^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{2}}.
Из подобия прямоугольных треугольников PLQ
и PMA
следует, что
\frac{QL}{PL}=\frac{AM}{PM}.
Значит,
r=QL=PL\cdot\frac{AM}{PM}=\frac{2b-a}{2}\cdot\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{2}}}=\frac{a(2b-a)}{2\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}.
