8369. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите радиус шара, касающегося всех рёбер пирамиды.
Ответ. \frac{a(2b-a)}{2\sqrt{b^{2}-a^{2}}}
.
Решение. Пусть PM
— высота правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
, r
— искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q
сферы, касающейся всех рёбер пирамиды, лежит на прямой PM
, а точки касания сферы со сторонами основания совпадают с серединами этих сторон. Если K
и L
— точки касания сферы с рёбрами AB
и AP
соответственно, то
QL\perp AP,~AK=\frac{a}{2},~PL=AP-AL=b-\frac{a}{2}=\frac{2b-a}{2}.
Из прямоугольного треугольника AMP
находим, что
PM=\sqrt{AP^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-a^{2}}.
Из подобия прямоугольных треугольников PLQ
и PMA
следует, что \frac{QL}{PL}=\frac{AM}{PM}
. Значит,
r=QL=PL\cdot\frac{AM}{PM}=\frac{2b-a}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}=\frac{a(2b-a)}{2\sqrt{b^{2}-a^{2}}}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 4(в), с. 88