8373. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите радиус шара, касающегося плоскости основания и боковых рёбер пирамиды.
Ответ. \frac{a(b\sqrt{3}-a)}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}
.
Решение. Пусть DM
— высота правильной треугольной пирамиды ABCD
, r
— искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q
сферы, касающейся плоскости основания и боковых рёбер пирамиды, лежит на прямой DM
, а точка касания сферы с плоскостью основания совпадает с точкой M
. Если L
— точка касания сферы с боковым ребром CD
, то
QL\perp CD,~CM=\frac{a}{\sqrt{3}},~CL=CM=\frac{a}{\sqrt{3}},
DL=CD-CL=b-\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{b\sqrt{3}-a}{\sqrt{3}}.
Из прямоугольного треугольника DMC
находим, что
DM=\sqrt{CD^{2}-CM^{2}}=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}.
Из подобия прямоугольных треугольников DLQ
и DMC
следует, что \frac{QL}{DL}=\frac{CM}{DM}
. Следовательно,
r=QL=DL\cdot\frac{CM}{DM}=\frac{b\sqrt{3}-a}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}}=\frac{a(b\sqrt{3}-a)}{\sqrt{3}\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}.
