8377. Найдите радиус сферы, вписанной в конус с радиусом основания r
и высотой h
.
Ответ. \frac{hr}{r+\sqrt{h^{2}+r^{2}}}
.
Решение. Пусть R
— искомый радиус, O
— центр сферы (рис. 1). Рассмотрим сечение конуса и вписанной в него сферы плоскостью, проходящей через высоту PM
конуса (рис. 2). Получим равнобедренный треугольник APB
с основанием AB=2r
и высотой PM=h
и вписанную в него окружность радиуса R
с центром O
. Точка O
лежит на биссектрисе прямоугольного треугольника AMP
, причём OM=R
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{OM}{OP}=\frac{AM}{AP}
, или
\frac{R}{h-R}=\frac{r}{\sqrt{h^{2}+r^{2}}}.
Из полученного уравнения находим, что
R=\frac{hr}{r+\sqrt{h^{2}+r^{2}}}.
