8393. В правильной треугольной пирамиде SABC
сторона основания ABC
равна 2, боковое ребро равно 3. Сфера с центром O
на прямой SB
касается рёбер SA
, SC
и AC
. Найдите расстояния от центра сферы до плоскостей ASC
и ABC
, а также радиус сферы.
Ответ. \frac{3\sqrt{46}}{14}
, \frac{\sqrt{69}}{21}
, \frac{8\sqrt{2}}{7}
.
Решение. Плоскость грани ASC
пересекает сферу по окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ASC
. Пусть D
— центр этой окружности, r
— её радиус, p
— полупериметр треугольника, SE
— высота треугольника ASC
, SH
— высота пирамиды. Тогда
BE=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},~SE=\sqrt{SA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2},
S_{\triangle ASC}=\frac{1}{2}AC\cdot SE=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\sqrt{2}=2\sqrt{2},~
p=\frac{3+3+2}{2}=4,~r=\frac{S_{\triangle ASC}}{p}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},
SD=SE-DE=SE-r=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2},
SH=\sqrt{SA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{3}}.
Обозначим \angle BSE=\alpha
. По теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\frac{SB^{2}+SE^{2}-BE^{2}}{2SB\cdot SE}=\frac{9+8-3}{2\cdot3\cdot2\sqrt{2}}=\frac{7}{6\sqrt{2}}.
Тогда
\tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}-1}=\sqrt{\frac{72}{49}-1}=\frac{\sqrt{23}}{7}.
Прямая OD
, проходящая через центр сферы и центр окружности сечения, перпендикулярна плоскости сечения. Поэтому OD
— перпендикуляр к плоскости ASC
. Из прямоугольного треугольника ODS
находим, что
OD=SD\tg\angle OSD=SD\tg\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{23}}{7}=\frac{3\sqrt{46}}{14},
SO=\frac{SD}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\frac{7}{6\sqrt{2}}}=\frac{18}{7},~OB=SB-SO=3-\frac{18}{7}=\frac{3}{7}.
Значит, \frac{OB}{SB}=\frac{1}{7}
.
Пусть K
— ортогональная проекция точки O
на плоскость основания ABC
. Тогда K
лежит на прямой BE
— ортогональной проекции прямой SB
на плоскость ABC
. Треугольники OBK
и SBH
подобны с коэффициентом \frac{1}{7}
. Следовательно,
OK=\frac{1}{7}SH=\frac{1}{7}\cdot\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{69}}{21}.
Пусть R
— радиус сферы. По теореме косинусов из треугольника SOE
находим, что
R=OE=\sqrt{SO^{2}+SE^{2}-2SO\cdot SE\cos\alpha}=
=\sqrt{\frac{324}{49}+8-2\cdot\frac{18}{7}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{7}{6\sqrt{2}}}=\frac{8\sqrt{2}}{7}.