8397. Внутри правильного тетраэдра с ребром a
расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.
Ответ. \frac{a(\sqrt{6}-1)}{10}
.
Решение. Пусть r
— искомый радиус. Соединим попарно центры шаров. Получим правильный тетраэдр со стороной 2r
. Так как шары вписаны в трёхгранные углы при вершинах правильного тетраэдра, то их центры лежат на соответствующих высотах тетраэдра. Поэтому центр правильного тетраэдра с вершинами в центрах данных шаров совпадает с центром O
данного правильного тетраэдра.
Пусть шар радиуса r
с центром O_{1}
, вписанный в трёхгранный угол с вершиной D
, касается плоскости грани ABD
данного правильного тетраэдра ABCD
с ребром a
в точке P
. Тогда
O_{1}P=r,~OD=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}a\sqrt{6}=\frac{a\sqrt{6}}{4},~OO_{1}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot2r\sqrt{6}=\frac{r\sqrt{6}}{2},
O_{1}D=OD-OO_{1}=\frac{a\sqrt{6}}{4}-\frac{r\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}(a-2r)}{4}.
Пусть M
— центр основания ABC
, K
— середина AB
, \varphi
— угол между высотой тетраэдра и плоскостью его грани. Из прямоугольного треугольника DMK
находим, что
\sin\varphi=\frac{MK}{DK}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}
Значит,
O_{1}D=\frac{O_{1}P}{\sin\varphi},~\mbox{или}~\frac{\sqrt{6}(a-2r)}{4}=3r,
откуда находим, что
r=\frac{a(\sqrt{6}-1)}{10}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 3, с. 93
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1966, билет 4, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 66-4-4, с. 116