8397. Внутри правильного тетраэдра с ребром a
расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.
Ответ. \frac{a(\sqrt{6}-1)}{10}
.
Решение. Пусть r
— искомый радиус. Соединим попарно центры шаров. Получим правильный тетраэдр со стороной 2r
. Так как шары вписаны в трёхгранные углы при вершинах правильного тетраэдра, то их центры лежат на соответствующих высотах тетраэдра. Поэтому центр правильного тетраэдра с вершинами в центрах данных шаров совпадает с центром O
данного правильного тетраэдра.
Пусть шар радиуса r
с центром O_{1}
, вписанный в трёхгранный угол с вершиной D
, касается плоскости грани ABD
данного правильного тетраэдра ABCD
с ребром a
в точке P
. Тогда
O_{1}P=r,~OD=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}a\sqrt{6}=\frac{a\sqrt{6}}{4},~OO_{1}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot2r\sqrt{6}=\frac{r\sqrt{6}}{2},
O_{1}D=OD-OO_{1}=\frac{a\sqrt{6}}{4}-\frac{r\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}(a-2r)}{4}.
Пусть M
— центр основания ABC
, K
— середина AB
, \varphi
— угол между высотой тетраэдра и плоскостью его грани. Из прямоугольного треугольника DMK
находим, что
\sin\varphi=\frac{MK}{DK}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}
Значит,
O_{1}D=\frac{O_{1}P}{\sin\varphi},~\mbox{или}~\frac{\sqrt{6}(a-2r)}{4}=3r,
откуда находим, что
r=\frac{a(\sqrt{6}-1)}{10}.