8398. Два противоположных ребра единичного куба лежат на основаниях цилиндра, а остальные вершины — на боковой поверхности цилиндра. Одна из граней куба образует с основаниями цилиндра угол \alpha
(\alpha\lt90^{\circ}
). Найдите высоту цилиндра.
Ответ. \sin\alpha+\cos\alpha
.
Решение. Пусть вершины A_{1}
и B_{1}
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
лежат в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины D
и C
— в плоскости нижнего основания, а грань ABCD
образует угол \alpha
с плоскостями оснований цилиндра (рис. 1).
Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью грани BB_{1}C_{1}C
(рис. 2). Если B'
и B_{1}'
— ортогональные проекции вершины B
на плоскости оснований цилиндра, то высота цилиндра равна B'B_{1}'
. Из прямоугольных треугольников BB'C
и B_{1}B_{1}'B
находим, что
BB'=BC\sin\alpha=\sin\alpha,~BB_{1}'=BB_{1}\cos\alpha=\cos\alpha.
Следовательно,
BB_{1}'=BB'+BB_{1}'=\sin\alpha+\cos\alpha.