8403. В параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проведён отрезок, соединяющий вершину A
с серединой ребра CC_{1}
. В каком отношении этот отрезок делится плоскостью BDA_{1}
?
Ответ. 2:3
, считая от точки A
.
Решение. При параллельном проектировании параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на плоскость грани AA_{1}B_{1}B
с проектирующей прямой AD
данный параллелепипед перейдёт в параллелограмм AA_{1}B_{1}B
, середина M
ребра CC_{1}
перейдёт в середину M'
отрезка BB_{1}
, точка P
пересечения диагоналей грани ABCD
— в середину P'
стороны AB
, точка K
пересечения отрезка AM
с плоскостью BDA_{1}
— в точку K'
отрезка A_{1}P'
, соединяющего вершину A_{1}
параллелограмма AA_{1}B_{1}B
с серединой стороны AB
.
Пусть прямые A_{1}P'
и BB_{1}
пересекаются в точке F
. Тогда
BF=AA_{1},~FM'=BF+BM'=AA_{1}+\frac{1}{2}AA_{1}=\frac{3}{2}AA_{1}.
Из подобия треугольников AK'A_{1}
и M'K'F
находим, что
AK':K'M'=AA_{1}:FM'=AA_{1}:\frac{3}{2}AA_{1}=2:3.
Следовательно,
AK:KM=AK':K'M'=2:3.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 2, с. 95