8405. В параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на прямых AC
и BA_{1}
взяты точки K
и M
, причём KM\parallel DB_{1}
. Найдите отношение KM:DB_{1}
.
Ответ. 1:3
.
Решение. Первый способ. При параллельном проектировании параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на плоскость диагонального сечения BB_{1}D_{1}D
с проектирующей прямой AC
параллелепипед перейдёт в параллелограмм BB_{1}D_{1}D
(рис. 1), точка K
перейдёт в середину K'
стороны DB
, точка A_{1}
— в середину F
отрезка B_{1}D_{1}
, отрезок BA_{1}
— в отрезок BF
, прямая KM
— в прямую l
, параллельную KM
и проходящую через точку K'
, точка M
— в точку M'
пересечения прямых BF
и l
(прямая KM
параллельна плоскости BB_{1}D_{1}D
, так как она параллельна прямой DB_{1}
этой плоскости).
Пусть L
— точка пересечения BF
и DB_{1}
. Тогда \frac{DL}{LB_{1}}=\frac{DB}{FB_{1}}=2
, а так как K'M'
— средняя линия треугольника BDL
, то
\frac{DB_{1}}{KM}=\frac{DB_{1}}{K'M'}=\frac{DL+LB_{1}}{K'M'}=\frac{2K'M'+K'M'}{K'M'}=3.
Второй способ. Пусть точки K
и M
лежат на прямых AC
и BA_{1}
соответственно (рис. 1). Отметим середину P
ребра AB
. Пусть K''
— точка пересечения прямых AC
и DP
, а M''
— прямых A_{1}B
и B_{1}P
. Из подобия треугольников AK''P
и DK''C
находим, что \frac{PK''}{K''D}=\frac{AP}{CD}=\frac{1}{2}
. Аналогично \frac{PM''}{M''B_{1}}=\frac{1}{2}
. Значит, K''M''\parallel DB_{1}
и K''M''=\frac{1}{3}DB_{1}
.
Если отрезки KM
и K'M'
не совпадают, то они параллельны, так как KM\parallel DB_{1}
и K''M''\parallel DB_{1}
. Тогда скрещивающиеся прямые AC
и BA_{1}
лежат в одной плоскости — в плоскости параллельных прямых KM
и K''M''
, что невозможно. Следовательно, \frac{DB_{1}}{KM}=\frac{DB_{1}}{K''M''}=3
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 4, с. 95