8415. Вершины двух конусов с общим основанием радиуса R
и высотами, равными H
и h
, расположены по разные стороны от основания. Найдите угол и расстояние между двумя образующими этих конусов, если известно, что их концы на окружности основания ограничивают четверть окружности.
Ответ. \frac{R(H+h)}{\sqrt{H^{2}+h^{2}+R^{2}}}
; \arccos\frac{h\cdot H}{\sqrt{(H^{2}+R^{2})(h^{2}+R^{2})}}
.
Решение. Пусть A
и B
— вершины данных конусов, AK
и BM
— указанные образующие, O
— центр основания. По условию задачи AO=H
, BO=h
, \angle KOM=90^{\circ}
(рис. 1).
Опустим перпендикуляр OC
из центра основания на прямую AK
. Так как OK\perp OM
, то по теореме о трёх перпендикулярах AK\perp OM
. Значит, прямая AK
перпендикулярна плоскости OCM
.
При ортогональном проектировании на эту плоскость прямая AK
перейдёт в точку C
, а точка B
— в некоторую точку B'
(рис. 2). Плоскости OCM
и AKB
перпендикулярны, так как плоскость OCM
проходит через перпендикуляр OM
к плоскости AKB
. Поэтому перпендикуляр BB'
к плоскости OCM
лежит в плоскости AKB
, а точка B'
— на прямой OC
пересечения этих плоскостей.
Рассмотрим плоскость AKB
. Из прямоугольного треугольника AOK
находим, что
AK=\sqrt{AO^{2}+OK^{2}}=\sqrt{H^{2}+R^{2}},~OC=\frac{AO\cdot OK}{AK}=\frac{H\cdot R}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}},
AC=\frac{AO^{2}}{AK}=\frac{H^{2}}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}}.
Так как BB'\perp OC
и AK\perp OC
, то BB'\parallel AK
. Треугольники OB'B
и OCA
подобны с коэффициентом \frac{h}{H}
, поэтому
OB'=\frac{h}{H}\cdot OC=\frac{h\cdot R}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}},~BB'=\frac{h}{H}\cdot AC=\frac{h\cdot H}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}}.
Значит,
B'C=OC+OB'=\frac{H\cdot R}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}}+\frac{h\cdot R}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}}=\frac{R(H+h)}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}}.
Пусть \alpha
— угол между прямыми AK
и BM
. Так как B'M
— ортогональная проекция прямой BM
на плоскость OCM
, то \alpha=90^{\circ}-\angle BMB'
. Следовательно,
\cos\alpha=\sin\angle BMB'=\frac{BB'}{BM}=\frac{\frac{h\cdot H}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}}}{\sqrt{h^{2}+R^{2}}}=\frac{h\cdot H}{\sqrt{(H^{2}+R^{2})(h^{2}+R^{2})}}.
Из прямоугольного треугольника BMB'
находим, что
B'M=\sqrt{BM^{2}-BB'^{2}}=\sqrt{(h^{2}+R^{2})-\frac{h^{2}\cdot H^{2}}{H^{2}+R^{2}}}=\frac{R\sqrt{H^{2}+h^{2}+R^{2}}}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}}.
Так как точка B'
лежит на прямой OC
, то OM\perp B'C
. Значит, OM
— высота треугольника B'CM
. Расстояние между прямыми AK
и BM
равно длине перпендикуляра CP
, опущенного из точки C
на ортогональную проекцию B'M
прямой BM
на плоскость OCM
, перпендикулярную прямой AK
. Так как CP
— также высота треугольника B'CM
, то
CP=\frac{B'C\cdot OM}{B'M}=\frac{\frac{R(H+h)}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}}\cdot R}{\frac{R\sqrt{H^{2}+h^{2}+R^{2}}}{\sqrt{H^{2}+R^{2}}}}=\frac{R(H+h)}{\sqrt{H^{2}+h^{2}+R^{2}}}.