8416. Основание четырёхугольной пирамиды PABCD
— параллелограмм ABCD
, M
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на BD
. Известно, что BP=DP
. Докажите, что расстояние от точки M
до середины ребра AP
равно половине ребра CP
.
Указание. Рассмотрите ортогональную проекцию пирамиды на плоскость основания. Примените теорему о перпендикуляре и наклонных к плоскости, проведённых из одной точки.
Решение. Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
, K
— середина ребра AP
. При ортогональном проектировании пирамиды на плоскость основания вершина перейдёт в точку P'
, равноудалённую от точек B
и D
, а точка K
— в середину K'
отрезка AP'
.
Так как OP'
— серединный перпендикуляр к отрезку BD
, то OP'\parallel AM
. Средняя линия K'L
прямоугольной трапеции AMOP'
перпендикулярна боковой стороне OM
, поэтому K'L
— серединный перпендикуляр к отрезку OM
. Значит, K'M=K'O
, т. е. ортогональные проекции наклонных KM
и KO
на плоскость ABCD
равны. Следовательно, KM=KO
, а так как KO
— средняя линия треугольника APC
, то KM=KO=\frac{1}{2}PC
.