8418. Докажите, что если суммы плоских углов при трёх вершинах треугольной пирамиды равны по 180^{\circ}
, то все грани этой пирамиды — равные треугольники (т. е. тетраэдр является равногранным).
Решение. Пусть в треугольной пирамиде ABCD
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
и C
равны по 180^{\circ}
(рис. 1).
Рассмотрим развёртку D_{1}AD_{2}CD_{3}B
пирамиды ABCD
на плоскость треугольника ABC
(рис. 2), причём точки D_{1}
, D_{2}
и D_{3}
— вершины треугольников с основаниями AB
, AC
и BC
соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
и C
тетраэдра ABCD
равны по 180^{\circ}
, точка A
лежит на отрезке D_{1}D_{2}
, точка B
— на отрезке D_{1}D_{3}
, а точка C
— на отрезке D_{2}D_{3}
, причём A
, B
и C
— середины этих отрезков. Поэтому AB
, BC
и AC
— средние линии треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит, треугольники D_{1}AB
, AD_{2}C
, BCD_{2}
и CBA
равны. Следовательно, равны и треугольники DAB
, ADC
, BCD
и CBA
, т. е. тетраэдр ABCD
— равногранный.