8419. Докажите, что квадрат может служить развёрткой некоторой треугольной пирамиды.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и BC
квадрата ABCD
(рис. 1). Заметим, что \angle ADM\gt\angle BDM
и \angle CDN\gt\angle BDN
, поэтому \angle ADM+\angle CDN\gt\angle MDN
. Перегнув квадрат по прямым DM
и CN
, совместим точки A
и C
. Пусть K
— полученная точка. Тогда KM=AM=BM
и KN=CN=BN
. Поэтому треугольники KMN
и BMN
равны по трём сторонам. Значит, можно совместить точку B
с точкой K
, перегнув квадрат по прямой MN
. Таким образом, DMNK
— искомая треугольная пирамида (рис. 2).