8420. Докажите, что если у тетраэдра равны два противоположных ребра, а суммы плоских углов при двух вершинах равны по 180^{\circ}
, то все грани тетраэдра — равные треугольники.
Решение. Пусть в тетраэдре ABCD
(рис. 1) суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
равны по 180^{\circ}
и AB=CD
.
Рассмотрим развёртку D_{1}AD_{2}CD_{3}B
пирамиды ABCD
на плоскость треугольника ABC
(рис. 2), причём точки D_{1}
, D_{2}
и D_{3}
— вершины треугольников с основаниями AB
, AC
и BC
соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
и B
тетраэдра ABCD
равны по 180^{\circ}
, точка A
лежит на отрезке D_{1}D_{2}
, а точка B
— на отрезке D_{1}D_{3}
, причём A
и B
— середины этих отрезков. Поэтому AB
— средняя линия треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит,
CD_{2}+CD_{3}=AB+AB=2AB=D_{2}D_{3},
что возможно лишь в случае, когда точка C
лежит на отрезке D_{2}D_{3}
, причём C
— середина D_{2}D_{3}
. Тогда AC
и BC
— также средние линии треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит, треугольники D_{1}AB
, AD_{2}C
, BCD_{2}
и CBA
равны. Следовательно, равны и треугольники DAB
, ADC
, BCD
и CBA
.
Пусть в тетраэдре ABCD
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
равны по 180^{\circ}
и AC=BD
.
Предположим, что точки C
и D_{1}
лежат по разные стороны от прямой D_{2}D_{3}
(рис. 3). Возьмём середину K
отрезка D_{2}D_{3}
. Тогда AK
— средняя линия треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
, поэтому AK=BD_{1}=AC
, т. е. треугольник AKC
— равнобедренный. Поскольку CD_{2}=CD_{3}
, треугольник D_{2}CD_{3}
— также равнобедренный, поэтому его медиана CK
является высотой. Тогда \angle AKC\gt\angle D_{2}KC=90^{\circ}
, что невозможно, так как AKC
— угол при основании равнобедренного треугольника AKC
.
Пусть теперь точки C
и D_{1}
расположены по одну сторону от прямой D_{2}D_{3}
(рис. 4). Продолжим KC
до пересечения со стороной AB
в точке M
. Так как CK\perp D_{2}D_{3}
и AB\parallel D_{2}D_{3}
, то \angle ACK\gt90^{\circ}
как внешний угол прямоугольного треугольника AMC
. Что также невозможно.
Таким образом, точка C
лежит на отрезке D_{2}D_{3}
, причём C
— середина этого отрезка. Тогда AB
, BC
и AC
— средние линии треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит, треугольники D_{1}AB
, AD_{2}C
, BCD_{2}
и CBA
равны. Следовательно, равны и треугольники DAB
, ADC
, BCD
и CBA
.
Аналогично для случая, когда в тетраэдре ABCD
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
равны по 180^{\circ}
и BC=AD
.