8422. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами его противоположных рёбер.
Ответ. 1.
Указание. Рассмотрите различные развёртки поверхности тетраэдра.
Решение. Пусть M
и N
— середины противоположных рёбер AB
и CD
правильного тетраэдра ABCD
(рис. 1), а путь между M
и N
пересекает ребро AC
. Рассмотрим развёртку тетраэдра, состоящую из четырёх равносторонних треугольников: ABC
, D_{1}AB
, D_{2}AC
и D_{3}BC
(рис. 2). Тогда искомый кратчайший путь — это кратчайший путь между серединой M
отрезка AB
и серединой N'
отрезка D_{2}C
. Длина этого пути равна 1. Аналогично для кратчайших путей, пересекающих рёбра AD
, CD
или BD
. Все остальные возможные пути очевидно длиннее.