8423. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными вершинами.
Ответ. \sqrt{5}
.
Указание. Рассмотрите различные развёртки поверхности куба.
Решение. Предположим, что путь между противоположными вершинами A_{1}
и C
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
пересекает ребро AD
(рис. 1). Рассмотрим часть такой развёртки куба, которая содержит квадраты AA_{1}D_{1}D
и ABCD
с общей стороной AD
(рис. 2). В этом случае кратчайший путь проходит через середину M
стороны AD
, а его длина равна
A_{1}M+MC=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}.
Аналогично для кратчайших путей, пересекающих рёбра B_{1}C_{1}
, C_{1}D_{1}
, AB
, BB_{1}
или DD_{1}
. Все остальные возможные пути очевидно длиннее.