8425. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b
, а плоский угол при вершине равен \alpha
. Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые рёбра пирамиды.
Ответ. 2b\sin2\alpha
, если \alpha\leqslant45^{\circ}
; 2b
, если 45^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}
.
Указание. Рассмотрите развёртку боковой поверхности пирамиды.
Решение. Пусть A
— вершина основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
(рис. 1). Рассмотрим развёртку боковой поверхности пирамиды, состоящую из четырёх равных равнобедренных треугольников A'P'B'
, B'P'C'
, C'P'B'
и D'P'A''
с углом \alpha
, при их общей вершине P'
. Если \alpha\leqslant45^{\circ}
, то \angle A'P'A''\leqslant180^{\circ}
, поэтому указанный путь из A
в A
по поверхности пирамиды равен сумме отрезков A'M
, MN
, NK
и KA''
, где точки M
, N
и K
лежат на отрезках B'P'
, C'P'
и D'P'
соответственно (рис. 2). В этом случае
A'M+MN+NK+KA''\geqslant A'A''=2A'P'\sin2\alpha=2b\sin2\alpha,
а искомый кратчайший путь на рассматриваемой развёртке есть отрезок A'A''
.
Если же \alpha\gt45^{\circ}
(рис. 3), то \angle A'P'N=\angle NP'A''=2\alpha\gt90^{\circ}
, поэтому
A'M+MN+NK+KA''=(A'M+MN)+(NK+KA'')\geqslant
\geqslant A'N+NA''\geqslant A'P'+A''P'=2b
(в треугольниках A'P'N
и A''P'N
стороны A'N
и A''N
лежат против тупых углов). В этом случае искомый кратчайший путь на рассматриваемой развёртке состоит из отрезков A'P'
и P'A''
.