8427. Радиус основания и высота цилиндра равны соответственно r
и h
. Найдите длину кратчайшего пути по боковой поверхности цилиндра между диаметрально противоположными точками разных оснований.
Ответ. \sqrt{\pi^{2}r^{2}+h^{2}}
.
Указание. Рассмотрите развёртку боковой поверхности цилиндра.
Решение. Пусть прямоугольник ABCD
— развёртка боковой поверхности цилиндра (рис. 2), причём AB=h
, AD=2\pi r
. Искомый путь равен кратчайшему пути между точкой A
и серединой M
стороны BC
, т. е. длине отрезка AM
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABM
находим, что
AM=\sqrt{BM^{2}+AB^{2}}=\sqrt{\pi^{2}r^{2}+h^{2}}.