8428. В вершине A
прямоугольника ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
сидит паук, а в противоположной вершине — муха. Их разделяет вертикальная стенка в виде равнобедренного треугольника BMD
с основанием BD
и углом \alpha
при вершине M
. Найдите длину кратчайшего пути от паука к мухе, если известно, что паук может двигаться лишь по той части плоскости прямоугольника, где находится стена (включая границу прямоугольника), и по самой стене.
Ответ. \sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\sin\alpha}
, если 90^{\circ}\leqslant\alpha\lt180^{\circ}
;
a+b
, если \alpha\lt90^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ADB=\beta
. Предположим, что путь паука состоит из последовательных отрезков AP
, PQ
, QP
и PC
, где точка P
лежит на диагонали BD
прямоугольника ABCD
, а точка Q
— на боковой стороне, например, BM
, треугольника BMD
. Рассмотрим развёртку данной конфигурации, состоящую из прямоугольного треугольника ABD
, равнобедренного треугольника BMD
, равного ему равнобедренного треугольника BMD'
и прямоугольного треугольника BD'C'
с прямым углом при вершине C'
, равного треугольнику DAB
. При этом любые два соседних из указанных четырёх треугольников имеют ровно одну общую сторону, точке P
соответствуют точки P'
и P''
отрезков BD
и BD'
, а точке Q
— точка Q'
отрезка BM
. Если \alpha\geqslant90^{\circ}
, то все точки отрезка AC'
принадлежат развёртке. Тогда
AP'+P'Q'+Q'P''+P''C'\geqslant AC',
\angle ABC'=\angle ABD+\angle DBM'+\angle M'BD'+\angle D'BC'=
=90^{\circ}-\beta+2\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha\right)+\beta=270^{\circ}-\alpha\leqslant180^{\circ}.
Значит, искомый кратчайший путь равен длине отрезка AC'
. По теореме косинусов из треугольника ABC'
находим, что
AC'=\sqrt{AB^{2}+BC'^{2}-2AB\cdot BC'\cos\angle ABC'}=
=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos(270^{\circ}-\alpha)}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\sin\alpha}.
Если \alpha\lt90^{\circ}
, то кратчайший путь будет проходить по сторонам AB
и BC
(или AD
и DC
) и будет равен a+b
.