8432. Конус и цилиндр имеют равные основания и равные высоты. Их основания лежат в одной плоскости и касаются друг друга. Две сферы радиусов, равных радиусам оснований конуса и цилиндра, касаются между собой, боковых поверхностей конуса и цилиндра, а также плоскости, содержащей другое основание цилиндра и вершину конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
Ответ. \pi-4\arctg\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Пусть радиусы оснований цилиндра, конуса и радиусы сфер равны r
(рис. 1), а искомый угол равен \alpha
. Рассмотрим ортогональную проекцию конуса, цилиндра и сфер на указанную плоскость \varphi
, содержащую вершину конуса и основание цилиндра (рис. 2). Получим четыре окружности с центрами A
, B
, C
и D
радиусов r
, причём окружности с центрами A
, C
и D
попарно касаются друг друга, а окружность с центром B
(ортогональная проекция оси конуса) касается окружности с центром A
и пересекает окружности с центрами в точках C
и D
. Так как треугольник ACD
равносторонний, то \angle CAD=60^{\circ}
. Поэтому
\angle CAB=\angle DAB=\frac{1}{2}\angle CAD=30^{\circ}.
Из равнобедренного треугольника ABC
находим, что
BC=2AB\sin\frac{1}{2}\angle CAB=4r\sin15^{\circ}=r(\sqrt{6}-\sqrt{2}).
Рассмотрим сечение конуса и одной из сфер плоскостью, проходящей через ось конуса и центр этой сферы (рис. 3). Получим равнобедренный треугольник KBL
(осевое сечение конуса) с основанием KL=2r
и окружность с центром O
(центр сферы) радиуса r
, вписанную в угол LBC
, где C
— точка касания сферы с плоскостью \varphi
. Из прямоугольного треугольника OBC
находим, что
\tg\angle OBC=\frac{OC}{BC}=\frac{r}{r(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.
Следовательно,
\alpha=\angle KBL=180^{\circ}-2\angle LBC=180^{\circ}-2\cdot2\angle OBC=
=180^{\circ}-4\angle OBC=180^{\circ}-4\arctg\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.