8433. Три шара радиуса R
попарно касаются между собой и некоторой плоскости. Найдите радиус шара, касающегося данных и той же плоскости.
Ответ. \frac{R}{3}
.
Решение. Пусть A
, B
и C
— точки касания шаров радиуса R
с указанной плоскостью, а D
— точка касания с этой плоскостью шара искомого радиуса r
(рис. 1). Рассмотрим ортогональную проекцию шаров на указанную плоскость (рис. 2). Получим три попарно касающиеся окружности с центрами A
, B
и C
радиусов R
и окружность с центром D
радиуса r
, причём D
— центр равностороннего треугольника ABC
. Поэтому
AD=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}.
С другой стороны, так как AD
— общая касательная касающихся шаров радиусов R
и r
, то AD=2\sqrt{Rr}
(см. задачу 365). Из уравнения 2\sqrt{Rr}=\frac{2R}{\sqrt{3}}
находим, что r=\frac{R}{3}
.