8433. Три шара радиуса R
попарно касаются между собой и некоторой плоскости. Найдите радиус шара, касающегося данных и той же плоскости.
Ответ. \frac{R}{3}
.
Решение. Пусть A
, B
и C
— точки касания шаров радиуса R
с указанной плоскостью, а D
— точка касания с этой плоскостью шара искомого радиуса r
(рис. 1). Рассмотрим ортогональную проекцию шаров на указанную плоскость (рис. 2). Получим три попарно касающиеся окружности с центрами A
, B
и C
радиусов R
и окружность с центром D
радиуса r
, причём D
— центр равностороннего треугольника ABC
. Поэтому
AD=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}.
С другой стороны, так как AD
— общая касательная касающихся шаров радиусов R
и r
, то AD=2\sqrt{Rr}
(см. задачу 365). Из уравнения 2\sqrt{Rr}=\frac{2R}{\sqrt{3}}
находим, что r=\frac{R}{3}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 1, с. 109
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 18, с. 8
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 19, с. 239