8434. Два равных касающихся шара вписаны в двугранный угол, равный \alpha
. Первый шар касается первой грани двугранного угла в точке A
, а второй шар касается второй грани в точке B
. Какая часть отрезка AB
находится вне шаров?
Ответ. \frac{1-\cos\alpha}{3+\cos\alpha}
.
Решение. Обозначим через R
радиусы шаров. Пусть первый шар с центром P
касается второй грани данного двугранного угла в точке A_{1}
, а второй шар с центром Q
касается первой грани в точке B_{1}
(рис. 1). Пусть плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые PA
и PA_{1}
пересекает ребро двугранного угла в точке E
. Тогда AEA_{1}
— линейный угол двугранного угла. По условию задачи \angle AEA_{1}=\alpha
. Из равнобедренного треугольника APA_{1}
(рис. 2) находим, что
AA_{1}=2AP\sin\angle APE=2R\sin\left(\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}\right)=2R\cos\frac{\alpha}{2}.
Аналогично, BB_{1}=2R\cos\frac{\alpha}{2}
.
Рассмотрим сечение шаров и двугранного угла плоскостью, проходящей через параллельные прямые AA_{1}
и BB_{1}
(рис. 3). Получим прямоугольник AA_{1}BB_{1}
со сторонами AA_{1}=BB_{1}=2R\cos\frac{\alpha}{2}
и AB_{1}=A_{1}B=2R
и две окружности с диаметрами AA_{1}
и BB_{1}
. Пусть диагональ AB
прямоугольника пересекает эти окружности в точках M
и N
(N
между M
и B
). Тогда B_{1}N
— высота прямоугольного треугольника AB_{1}B
, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому
\frac{BN}{AN}=\frac{\frac{BB_{1}^{2}}{AB}}{\frac{AB_{1}^{2}}{AB}}=\frac{BB^{2}_{1}}{AB^{2}_{1}}=\frac{4R^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{4R^{2}}=\cos^{2}\frac{\alpha}{2},~\frac{BN}{AB}=\frac{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}.
Значит,
\frac{MN}{AB}=\frac{AB-AM-BN}{AB}=\frac{AB-2AM}{AB}=1-2\cdot\frac{BN}{AB}=1-\frac{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=
=\frac{1+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=
=\frac{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{2+2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos\alpha}{3+\cos\alpha}.