8435. Основания трёх равных конусов расположены в одной плоскости и касаются друг друга. Осевым сечением каждого конуса является правильный треугольник со стороной a
. Найдите радиус шара, касающегося боковой поверхности каждого конуса и плоскости, в которой расположены их основания.
Ответ. \frac{a(2-\sqrt{3})}{2}
.
Решение. Пусть Q
— точка касания указанного шара с центром O
с плоскостью оснований конусов, а O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры оснований конусов. Тогда O_{1}O_{2}O_{3}
— равносторонний треугольник со стороной a
, поэтому
QO_{1}=QO_{2}=QO_{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Проведём плоскость через высоту CO_{1}
одного из конусов и параллельный ей радиус QO
шара. Получим равносторонний треугольник ABC
(осевое сечение конуса) и окружность, касающуюся боковой стороны, например AC
, в точке D
, а продолжения основания AB
— в точке Q
. По условию задачи O_{1}A=\frac{a}{2}
, CO_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Обозначим QO=r
, \angle OAQ=\varphi
. Тогда
\varphi=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAO_{1})=\frac{1}{2}(180^{\circ}-60^{\circ})=60^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника OAQ
находим, что
AQ=OQ\ctg\varphi=r\ctg60^{\circ}=\frac{r}{\sqrt{3}}.
Поскольку QO_{1}=AQ+AO_{1}
, имеем уравнение
\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{r}{\sqrt{3}}+\frac{a}{2},
из которого находим, что r=\frac{a(2-\sqrt{3})}{2}
.