8443. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d
и образует углы 60^{\circ}
и 45^{\circ}
с двумя из его рёбер. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. \frac{d^{3}\sqrt{2}}{8}
.
Решение. Пусть диагональ AC_{1}
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равна d
и образует с рёбрами AB
и AD
углы 45^{\circ}
и 60^{\circ}
соответственно. Из прямоугольных треугольников ABC_{1}
, ADC_{1}
, ABC
и ACC_{1}
последовательно находим:
AB=AD_{1}\cos45^{\circ}=\frac{d\sqrt{2}}{2},~AD=AD_{1}\cos60^{\circ}=\frac{d}{2},
BD^{2}=AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=AB^{2}+AD^{2}=\frac{d^{2}}{2}+\frac{d^{2}}{4}=\frac{3d^{2}}{4},
CC_{1}=\sqrt{AC^{2}_{1}-AC^{2}}=\sqrt{d^{2}-\frac{3d^{2}}{4}}=\frac{d}{2}.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=AB\cdot AD\cdot CC_{1}=\frac{d\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{d}{2}\cdot\frac{d}{2}=\frac{d^{3}\sqrt{2}}{8}.