8445. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны \sqrt{3}
, \sqrt{5}
и 2. Найдите его объём.
Ответ. \sqrt{6}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольный параллелепипед, в котором BD=\sqrt{3}
, BC_{1}=\sqrt{5}
, DC_{1}=2
. Обозначим AB=x
, AD=y
, AA_{1}=z
. Из прямоугольных треугольников ABD
, BB_{1}C_{1}
и CDC_{1}
находим, что
\syst{x^{2}+y^{2}=3\\x^{2}+z^{2}=5\\y^{2}+z^{2}=4.\\}
Сложим почленно первое и второе уравнение этой системы и вычтем из результата третье. Получим 2x^{2}=4
, откуда x=\sqrt{2}
. Аналогично, y=1
и z=\sqrt{3}
. Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=xyz=\sqrt{2}\cdot1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}.