8448. Высота пирамиды равна 3, площадь основания равна 9. Найдите объём призмы, одно основание которой принадлежит основанию пирамиды, а противоположное основание является сечением пирамиды плоскостью, проходящей на расстоянии 1 от вершины.
Ответ. 2.
Решение. Пусть S=9
— площадь основания пирамиды, H=3
— её высота, s
— площадь основания призмы, h
— высота призмы. Так как основания призмы лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость параллельна плоскости основания пирамиды, поэтому многоугольник основания призмы подобен многоугольнику основания пирамиды, причём коэффициент подобия k
равен отношению расстояний от вершины пирамиды до плоскостей сечения и основания пирамиды, т. е. k=\frac{1}{3}
. Значит, \frac{s}{S}=k^{2}=\frac{1}{9}
. Следовательно, s=\frac{1}{9}S
.
Пусть V
— объём призмы. Так как
\frac{h}{H}=\frac{H-1}{H}=1-\frac{1}{H}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
то
V=sh=s\cdot\frac{2}{3}H=2.