8449. Найдите объём параллелепипеда, две грани которого ромбы со стороной 1 и острым углом 60^{\circ}
, а остальные грани — квадраты.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть грани ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— ромбы со стороной 1 и острым углом 60^{\circ}
, а остальные грани — квадраты. Тогда стороны этих квадратов также равны 1. Так как AA_{1}\perp AB
и AA_{1}\perp AD
, то боковое ребро AA_{1}
перпендикулярно плоскости основания ABCD
параллелепипеда. Значит, параллелепипед — прямой. Следовательно, его объём V
равен произведению площади основания на боковое ребро, т. е.
V=S_{ABCD}\cdot AA_{1}=1\cdot1\cdot\sin60^{\circ}\cdot1=\frac{\sqrt{3}}{2}.