8450. В вершинах A
, B
и C
равностороннего треугольника ABC
со стороной 1 восставлены к его плоскости перпендикуляры и на них взяты точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, находящиеся по одну сторону от плоскости ABC
, причём AA_{1}=4
, BB_{1}=5
и CC_{1}=6
. Найдите объём многогранника ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{5\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть плоскость, проходящая через точку A_{1}
параллельно плоскости ABC
, пересекает отрезки BB_{1}
и CC_{1}
в точках B_{2}
и C_{2}
соответственно. Тогда многогранник ABCA_{1}B_{1}C_{1}
состоит из правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{2}C_{2}
и четырёхугольной пирамиды A_{1}B_{1}B_{2}C_{2}C_{1}
, основание которой — прямоугольная трапеция B_{1}B_{2}C_{2}C_{1}
с основаниями
B_{1}B_{2}=BB_{1}-BB_{2}=BB_{1}-AA_{1}=5-4=1,
C_{1}C_{2}=CC_{1}-CC_{2}=CC_{1}-AA_{1}=6-4=2.
Пусть A_{1}M
— высота равностороннего треугольника A_{1}B_{2}C_{2}
. Тогда A_{1}M\perp B_{2}C_{2}
и A_{1}M\perp B_{1}B_{2}
, поэтому A_{1}M
— перпендикуляр к плоскости B_{1}B_{2}C_{2}C_{1}
. Значит, A_{1}M
— высота четырёхугольной пирамиды A_{1}B_{1}B_{2}C_{2}C_{1}
. Следовательно,
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=V_{ABCA_{1}B_{2}C_{2}}+V_{A_{1}B_{1}B_{2}C_{2}C_{1}}=S_{\triangle ABC}\cdot AA_{1}+\frac{1}{3}S_{B_{1}B_{2}C_{2}C_{1}}\cdot A_{1}M=
=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot4+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(1+2)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{5\sqrt{3}}{4}.