8451. В вершинах единичного квадрата восставлены к его плоскости перпендикуляры и на них по одну сторону от плоскости квадрата взяты точки на расстояниях 3, 4, 6 и 5 от этой плоскости (в порядке обхода). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются указанные точки и вершины квадрата.
Ответ. \frac{9}{2}
.
Решение. Пусть ABCD
— единичный квадрат, а A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
— указанные точки на перпендикулярах к его плоскости, причём
AA_{1}=3,~BB_{1}=4,~CC_{1}=6,~DD_{1}=5.
Пусть плоскость, проходящая через точку A_{1}
параллельно плоскости ABCD
, пересекает отрезки BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
в точках B_{2}
, C_{2}
и D_{2}
соответственно. Тогда многогранник ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
состоит из правильной четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{2}C_{2}D_{2}
, четырёхугольной пирамиды A_{1}B_{1}B_{2}D_{2}D_{1}
, основание которой прямоугольная трапеция B_{1}B_{2}D_{2}D_{1}
, четырёхугольной пирамиды B_{1}C_{1}C_{2}D_{2}D_{1}
, основание которой прямоугольная трапеция C_{1}C_{2}D_{2}D_{1}
, и треугольной пирамиды B_{1}B_{2}C_{2}D_{2}
с вершиной B_{1}
.
Пусть M
— точка пересечения диагоналей квадрата A_{1}B_{2}C_{2}D_{2}
. Так как A_{1}M\perp D_{2}B_{2}
и A_{1}M\perp B_{1}B_{2}
, то A_{1}M
— перпендикуляр к плоскости B_{1}B_{2}D_{2}D_{1}
, поэтому A_{1}M
— высота четырёхугольной пирамиды A_{1}B_{1}B_{2}D_{2}D_{1}
. Так как прямая B_{1}B_{2}
параллельна плоскости C_{1}C_{2}D_{2}D_{1}
, то высота B_{1}K
четырёхугольной пирамиды B_{1}C_{1}C_{2}D_{2}D_{1}
равна расстоянию от точки B_{2}
до этой плоскости, т. е. отрезку B_{2}C_{2}=1
. Высота B_{1}B_{2}
треугольной пирамиды B_{1}B_{2}C_{2}D_{2}
равна 1. Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=V_{ABCDA_{1}B_{2}C_{2}D_{2}}+V_{A_{1}B_{1}B_{2}D_{2}D_{1}}+V_{B_{1}C_{1}C_{2}D_{2}D_{1}}+V_{B_{1}B_{2}C_{2}D_{2}}=
=S_{ABCD}\cdot AA_{1}+\frac{1}{3}S_{B_{1}B_{2}D_{2}D_{1}}\cdot A_{1}M+\frac{1}{3}S_{C_{1}C_{2}D_{2}D_{1}}\cdot B_{2}C_{2}+\frac{1}{3}S_{B_{2}C_{2}D_{2}}\cdot B_{1}B_{2}=
=1\cdot3+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(1+2)\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(2+3)\cdot1\cdot1+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=
=3+\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=\frac{9}{2}.