8455. На ребре единичного правильного тетраэдра взята точка, которая делит это ребро в отношении 1:2
. Через эту точку проведены две плоскости, параллельные двум граням тетраэдра. Эти плоскости отсекают от тетраэдра две треугольные пирамиды. Найдите объём оставшейся части тетраэдра.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{18}
.
Решение. Высота правильного тетраэдра с ребром 1 равна \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
, площадь основания равна \frac{\sqrt{3}}{4}
. Следовательно, если V
— объём такого тетраэдра, то
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{12}.
Пусть точка M
лежит на ребре CD
данного правильного тетраэдра ABCD
, причём \frac{DM}{MC}=\frac{1}{2}
. Первая плоскость проходит через точку M
параллельно плоскости ABC
. Она отсекает от данного тетраэдра подобный ему тетраэдр, причём коэффициент подобия равен \frac{DM}{DC}=\frac{1}{3}
. Значит, объём отсечённого тетраэдра равен \left(\frac{1}{3}\right)^{3}\cdot V=\frac{1}{27}V
. Вторая плоскость проходит через точку M
параллельно плоскости ABD
. Она отсекает от данного тетраэдра подобный ему тетраэдр, причём коэффициент подобия равен \frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}
. Значит, объём отсечённого тетраэдра равен \left(\frac{2}{3}\right)^{3}\cdot V=\frac{8}{27}V
. Следовательно, объём оставшейся части тетраэдра равен
V-\frac{1}{27}V-\frac{8}{27}V=V-\frac{1}{3}V=\frac{2}{3}V=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{18}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 16, с. 120
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — Пример 1, с. 67