8456. Докажите, что плоскость, пересекающая боковую поверхность правильной 2n
-угольной призмы, но не пересекающая её оснований, делит ось призмы, её боковую поверхность и объём в одном и том же отношении.
Решение. Пусть O
и Q
— центры оснований A_{1}A_{2}\dots A_{2n}
и B_{1}B_{2}\dots B_{2n}
правильной призмы (A_{1}B_{1}\parallel A_{2}B_{2}\parallel\dots\parallel A_{2n}B_{2n}
), C_{1}C_{2}\dots C_{2n}
— рассматриваемое сечение. Поскольку правильная 2n
-угольная призма симметрична относительно её оси OQ
, многоугольник C_{1}C_{2}\dots C_{2n}
симметричен относительно точки M
пересечения секущей плоскости с осью OQ
.
Через вершины многоугольника C_{1}C_{2}\dots C_{2n}
проведём плоскости, перпендикулярные оси. Рассмотрим те из них, между которыми заключён этот многоугольник. Пусть это будут плоскости, проходящие через вершины C_{1}
и C_{n+1}
, симметричные относительно точки M
. Ясно, что секущая плоскость делит объём и боковую поверхность правильной призмы, заключённой между двумя указанными плоскостями. Отсюда следует утверждение задачи.