8459. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит её объём на две равные части. В каком отношении эта плоскость делит боковые рёбра пирамиды?
Ответ. \sqrt[{3}]{{4}}+\sqrt[{3}]{{2}}+1
.
Решение. Пусть указанная плоскость проходит через точку M
бокового ребра AP
пирамиды с объёмом V
(P
— вершина) и отсекает от данной пирамиды пирамиду с объёмом v
. Отсечённая пирамида подобна данной. Если k
— коэффициент подобия, то \frac{v}{V}=k^{3}
. Откуда находим, что
k=\sqrt[{3}]{{\frac{v}{V}}}=\sqrt[{3}]{{\frac{\frac{V}{2}}{V}}}=\frac{1}{\sqrt[{3}]{{2}}}.
Поэтому \frac{PM}{PA}=k=\frac{1}{\sqrt[{3}]{{2}}}
. Следовательно,
\frac{PM}{AM}=\frac{1}{\sqrt[{3}]{{2}}-1}=\sqrt[{3}]{{4}}+\sqrt[{3}]{{2}}+1.